Movimiento Pendular Simple

Interpolacion:

PENDULO SIMPLE:

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.
Si la partícula se desplaza a una posición q₀ (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar
El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos

• el peso mg
• La tensión T del hilo

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq  en la dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial.

• Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es a_n=v²/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.
La segunda ley de Newton se escribe
ma_n=T-mg·cosq
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q  podemos determinar la tensión T del hilo.
La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv²/l
Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq₀

• Principio de conservación de la energía

En la posición θ=θ₀ el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio

Comparemos dos posiciones del péndulo: En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial. E=mg(l-l·cosθ0) En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

 La energía se conserva
v²=2gl(cosθ-cosθ₀) 
La tensión de la cuerda es
T=mg(3cosθ-2cosθ₀)

La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ₀ (la velocidad es nula).

• Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es a_t=dv/dt.
La segunda ley de Newton se escribe
ma_t=-mg·senq
La relación entre la aceleración tangencial a_t y la aceleración angular a es a_t=a ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

Movimiento del pendulo:

El movimiento de un péndulo simple es como un movimiento armónico simple en donde la ecuación para el desplazamiento angular es

Que tiene la misma forma que el movimiento de una masa sobre un muelle: La frecuencia angular del movimiento está dada por comparada a para una masa sobre un muelle.

La frecuencia del péndulo en Hz está dada por

y el periodo del movimiento es entonces

}

Periodo del pendulo:

Una masa puntual colgando de una cuerda sin masa, es un ejemplo idealizado de un péndulo simple. Cuando se desplaza desde su punto de equilibrio, la fuerza de restauración que lo trae de nuevo al centro, está dada por:

Para pequeños ángulos θ, podemos usar la aproximación en cuyo caso la segunda ley de Newton toma la forma Aún en este caso aproximado, la solución de la ecuación hace uso de las ecuaciones y cálculo diferencial. La ecuación diferencial es y para pequeños ángulos θ la solución es: Ecuaciones del pendulo: La ecuación de movimiento para el péndulo simple para amplitudes suficientemente pequeñas tiene la forma La cual, cuando se pone en forma angular viene a ser Esta ecuación diferencial es como la del oscilador armónico simple y tiene la solución: LEYES DEL PENDULO: LEY DE MASAS: El periodo es independiente de la masa y de su naturaleza. Es decir que en dos péndulos con la misma longitud pero de diferentes masas el periodo de los péndulos es igual. LEY DEL ISOCRONO: El periodo de oscilación de un péndulo es independiente de la amplitud. Siempre que éstas sean suficientemente pequeñas como para que la aproximación senθ ≈ θ sea aceptable. LEY DE LONGITUDES: A mayor longitud mayor periodo de oscilación, y a menor longitud menor periodo de oscilación, es decir son inversamente proporcionales. LEY DE LAS ACELERACIONES DE LAS GRAVEDADES: Los tiempos de oscilacion de un mismo pendulo en distintos lugares de la tierra son inversaente proporcionales a las raices cuadradasde las aceleraciones de la gravedad. http://www.portalplanetasedna.com.ar/pendulo.htm http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/pendulo/pendulo.htm http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/pend.html